Question

1．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：∠FBC=∠FCB；
（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD，再由角平分线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD，由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出结论；
（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，证出△AFB∽△BFD，得出对应边成比例求出BF，得出FD、AD的长，由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函数求出∠FBA=30°，再由三角函数求出CD的长即可．

解答 （1）证明：∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠FBC+∠FAC=180°，
∵∠CAD+∠FAC=180°，
∴∠FBC=∠CAD，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠EAD=∠FAB，
∴∠FAB=∠CAD，
又∵∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB；
（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，
又∵∠FCB=∠FAB，
∴∠FAB=∠FBC，
∵∠BFA=∠BFD，
∴△AFB∽△BFD，
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{FA}{BF}$，
∴BF²=FA•FD=12，
∴BF=2$\sqrt{3}$，
∵FA=2，
∴FD=6，AD=4，
∵AB为圆的直径，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴tan∠FBA=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠FBA=30°，
又∵∠FDB=∠FBA=30°，
∴CD=AD•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．