Question

如图，点P在以AB为直径的半圆内，连AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法正确的是:

①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③PF⊥AB；④BD⊥AF.
A．①②       B．①④        C．②④       D．③④

Answer 1

D．

试题分析：①∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC垂直BF，但不能得到AC平分BF，
故①错误；
②假设AC平分∠BAF，我们有：∠CAB=∠CAF，由①知：AC垂直BF，∴∠ACB=∠ACF=90°，∴∠ACB-∠CAB=∠ACF-∠CAF，即：∠ ABC=∠AFC，从而得到△ABF是等腰三角形。又因为AC垂直BF，根据等腰三角形的三线合一知：AC平分BF，这与①不能得到AC平分BF相矛盾。
故②错误；
③∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，∠FPD=90°，
∵三角形的三条高线所在的直线交于一点，
∴FP⊥AB，
故③正确；
④∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AF．
故④正确，
综上所述只有③④正确，
故选D．