Question

【题目】如图，是边长为3的等边三角形，是边上的一个动点，由向运动（不与重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合）

（1）当时，求的长．

（2）过作于点，连结交于，在点的运动过程中，线段的长是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，求出变化范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）DE长度不变，且恒为1.5.

【解析】

（1）作PF∥BC交AC于F，先证明△APF为等边三角形，然后进一步得出△PFD与△QCD全等，最后进一步利用直角三角形性质求解即可；

（2）作QF⊥AC交AC的延长线于F，连接QF、PF，根据题意可知AP=CQ，进一步证明△APE与△CQF全等以及四边形PEQF为平行四边形，据此进一步求解即可.

（1）作PF∥BC交AC于F，如图1所示，

∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC，

∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，

∴△APF为等边三角形，

∴AP=AF=PF，

∵Q与点P同时出发，速度也相同，

∴AP=CQ，

∴PF=CQ，

在△PFD与△QCD中，

∵∠FPD=∠CQD，PF=QC，∠PFD=∠QCD，

∴△PFD≌△QCD，

∴FD=CD，

∵，

∴∠APD=90°，

∵∠A=60°，

∴∠PDA=30°，

∴AD=2AP，

∴AD=2AF，

∵AF+FD=2AF

∴FD=AF，

∴AF=FD=CD，

∴AF=AC，

∵AC=3，

∴AP=AF=1；

（2）DE长度不变，理由如下：

如图2所示，作QF⊥AC交AC的延长线于F，连接QF、PF，

∵，QF⊥AC,

∴∠DFQ=∠AEP=90°，PE∥QF，

∵点P、Q速度相同，

∴AP=CQ，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∴∠FCQ=60°，

∴∠A=∠FCQ，

在△APE与△CQF中，

∵∠CFQ=∠AEP=90°，

∴∠APE=∠CQF，

在△APE与△CQF中，

∵∠AEP=∠CFQ，∠A=∠FCQ，AP=CQ，

∴△APE≌△CQF，

∴AE=CF，PE=QF，

∴四边形PEQF为平行四边形，

∴DE=EF，

∵AC=EC+AE=CE+CF=EF，

∴DE=AC，

∵AC=3，

∴DE=1.5.

∴DE长度不变，且恒为1.5.