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    9．观察思考：如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=4cm．已知a∥b，a、b间的距离为$\sqrt{3}$cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A1BC．
    （1）当A1、D两点重合时，则 AC=4cm．
    （2）当A1、D两点不重合时，
    ①连接A1D，探究A1D与BC的位置关系，并说明理由．
    ②若以A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出AC的长．

    分析 （1）当A1、D两点重合时，可以证到四边形ACDB是菱形，从而得到AC=AB=4cm．
    （2）①过点A1作A1E⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图2，可以证到S△DBC=S△ABC=S△A1BC，从而得到DF=A1E，由A1E⊥BC，DF⊥BC可以证到A1E∥DF，从而得到四边形A1DFE是平行四边形，就可得到A1D∥BC．②若以A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形，则有三个位置，分别是图3①、图3②、图3③．对于图3①、图3②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，运用相似三角形的性质建立方程就可求出AH，然后运用勾股定理就可求出AC的长；对于图3③，直接运用勾股定理就可求出AC的长．

    解答 解：（1）当A1、D两点重合时，如图1①和图1②，


    ∵CD∥AB，CD=AB，
    ∴四边形ACDB是平行四边形．
    ∵△ABC沿BC折叠得△A1BC，A1、D两点重合，
    ∴AC=A1C=DC．
    ∴平行四边形ACDB是菱形．
    ∴AC=AB=4（cm）．
    故答案为：4．

    （2）当A1、D两点不重合时，
    ①A1D∥BC．
    证明：过点A1作A1E⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图2，

    ∵CD∥AB，CD=AB，
    ∴四边形ACDB是平行四边形．
    ∴S△ABC=S△DBC．
    ∵△ABC沿BC折叠得△A1BC，
    ∴S△ABC=S△A1BC．
    ∴S△DBC=S△A1BC．
    ∴$\frac{1}{2}$BC•DF=$\frac{1}{2}$BC•A1E．
    ∴DF=A1E．
    ∵A1E⊥BC，DF⊥BC，
    ∴∠A1EB=∠DFB=90°．
    ∴A1E∥DF．
    ∴四边形A1DFE是平行四边形．
    ∴A1D∥EF．
    ∴A1D∥BC．
    ②Ⅰ．如图3①，

    过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH＜BH．
    ∵四边形A1DBC是矩形，
    ∴∠A1CB=90°．
    ∵△ABC沿BC折叠得△A1BC，
    ∴∠ACB=∠A1CB．
    ∴∠ACB=90°．
    ∵CH⊥AB，
    ∴∠AHC=∠CHB=90°．
    ∴∠ACH=90°-∠HCB=∠CBH．
    ∴△AHC∽△CHB．
    ∴$\frac{AH}{CH}$=$\frac{CH}{BH}$．
    ∴CH2=AH•BH．
    ∵AB=4，CH=$\sqrt{3}$，
    ∴3=AH•（4-AH）．
    解得：AH=1或AH=3．
    ∵AH＜BH，
    ∴AH=1．
    ∴AC2=CH2+AH2=3+1=4．
    ∴AC=2．
    Ⅱ．如图3②，

    过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH＞BH．
    同理可得：AH=3．
    ∴AC2=CH2+AH2=3+9=12．
    ∴AC=2$\sqrt{3}$．
    Ⅲ．如图3③，

    ∵四边形A1DCB是矩形，
    ∴∠A1BC=90°．
    ∵△ABC沿BC折叠得△A1BC，
    ∴∠ABC=∠A1BC．
    ∴∠ABC=90°．
    ∴AC2=BC2+AB2=3+16=19．
    ∴AC=$\sqrt{19}$．
    综上所述；当以A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形时，AC的长为2或2$\sqrt{3}$或$\sqrt{19}$．

    点评 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、轴对称的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解．

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