Question

19．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用交点式求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；
（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；
（4）存在两种情况：①如图4，点P₁与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；
②如图5，图3中的M（-$\frac{3}{2}$，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P₂，则△CP₂Q∽△BCO，P₂为直线CM的抛物线的交点．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x²-x+2，
∴二次函数的解析式为：y=-x²-x+2；
（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n²-n+2），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
∴D（n，n+2），
∴ND=（-n²-n+2）-（n+2）=-n²-2n，
∴S_△ANC=$\frac{1}{2}$×2×[-n²-2n]=-n²-2n=-（n+1）²+1，
∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM₁时，M₁（-1，0）；
②如图2，由勾股定理得：BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M₂、M₃，则BC=BM₂=BM₃=$\sqrt{5}$，
此时，M₂（1-$\sqrt{5}$，0），M₃（1+$\sqrt{5}$，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M₄，连接CM₄，则CM₄=BM₄，
设OM₄=x，则CM₄=BM₄=x+1，
由勾股定理得：2²+x²=（1+x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∵M₄在x轴的负半轴上，
∴M₄（-$\frac{3}{2}$，0），
综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±$\sqrt{5}$，0）或（-$\frac{3}{2}$，0）；
（4）存在两种情况：
①如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P₁，过P₁作P₁Q⊥BC，
此时，△CP₁Q∽△BCO，
∴点P₁与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴P₁（-1，2），
②如图5，由（3）知：当M（-$\frac{3}{2}$，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P₂，
过P₂作P₂Q⊥BC，此时，△CP₂Q∽△BCO，
易得直线CM的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+2，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+2}\\{y=-{x}^{2}-x+2}\end{array}\right.$，
解得：P₂（-$\frac{7}{3}$，-$\frac{10}{9}$），
综上所述，点P的坐标为：（-1，2）或（-$\frac{7}{3}$，-$\frac{10}{9}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．