Question

已知：如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O、E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．
（1）请说明四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）根据中位线的判定GH=EF=

1

2

，EH=FG=

1

2

，所以四边形EFGH是平行四边形．
（2）根据菱形的判定，四边都相等的四边形是菱形，只要证明EF=FG=GH=HE就可以了，这就需要AB=CD这个条件．

解答：（1）证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EF=

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2

AB；GH∥AB，GH=

1

2

AB．
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
理由：∵E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，
∴EF=

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2

AB，HG=

1

2

AB，FG=

1

2

CD，EH=

1

2

CD，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=EH．
∴四边形EFGH是菱形．

点评：此题考查了三个判定：平行四边形的判定、菱形的判定、中位线的判定，牢记这几个判定，解此类问题就轻而易举了．