Question

如图，△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，延长AB到E，使BE=CD，连接DE交BC于F．
（1）求证：DF=EF；
（2）若△ABC的边长为5，设CD=x，BF=y，求y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：过D作DM∥AB交BC于M，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴△CDM为等边三角形，
∴CD=DM，
又∵BE=CD，
∴DM=BE，
而DM∥BE，
∴∠FDM=∠E，∠DMF=∠FBE，
∴△FDM≌△FEB，
∴DF=EF；

（2）解：由（1）得△FDM≌△FEB，
∴MF=BF=y，
而CM=CD=x，
∴x+y+y=5，
∴y=x-（0＜x＜5）．
分析：（1）过D作DM∥AB交BC于M，则△CDM为等边三角形，得CD=DM，而BE=CD，得到DM=BE，易证得△FDM≌△FEB，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）得△FDM≌△FEB，得到MF=BF=y，易得CM=CD=x，而BC=5，即有x+y+y=5，即可得到y与x间的函数关系式．
点评：本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了等边三角形的性质．