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精英家教网已知:如图,在⊙O中,弦CD垂直直径AB,垂足为M,AB=4,CD=2
3
,点E在AB的延长线上,且tanE=
3
3
.求证:DE是⊙O的切线.
分析:连接OD.根据垂径定理,得DM=
1
2
CD
=
3
,在直角三角形ODM和直角三角形DME中,利用锐角三角函数分别求得∠DOM和∠E的度数,从而求得∠ODE的度数,即可证明DE是圆的切线.
解答:精英家教网证明:连接OD.
∵弦CD⊥直径AB,AB=4,CD=2
3

∴MD=
1
2
CD
=
3
,OD=
1
2
AB
=2.
在Rt△OMD中,
∵sin∠DOM=
MD
OD
=
3
2

∴∠DOM=60°.
在Rt△DME中,
tanE=
3
3

∴∠E=30°.
∴∠ODE=90°.
又∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
点评:此题综合运用了垂径定理、锐角三角函数和切线的判定定理.
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(1)计算:(
2
-1)-1+
8
-6sin45°+(-1)2011

(2)先化简,再求值:
x2-2xy+y2
x2-xy
÷(
x
y
-
y
x
)
,其中x=
2
-1,y=1

(3)如图,已知:如图,在?ABCD中,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF.

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(1)求证:BP=CQ.
(2)设直线BP与直线CQ相交于点E,∠BAC=α,∠BEC=β,
①若点P在线段AD上移动(不与点A重合),则“α与β之间有怎样的数量关系?并说明理由.
②若点P在直线AD上移动(不与点A重合).则α与β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.

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(1)求证:BC所在直线是⊙O的切线;
(2)若AD=2
3
,求弦AC的长.

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