Question

20．如图，在平面直角坐标系中，边长为a的等边三角形ABC的顶点A、B分别在x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，求点C到原点O的最大距离．

Answer 1

分析 由题意得到当OA=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形时，OC最大，画出相应的图形，连接OC，交AB与点D，由对称性得到OC垂直于AB，利用三线合一得到D为AB的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半表示出OD的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理表示出CD的长，由OD+DC即可求出OC的长．

解答 解：由题意得：当OA=OB时，连接OC，可得OC最大，如图所示，
由对称性可得OC⊥AB，
∵△AOB为等腰直角三角形，AB=a，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△BCD中，BC=a，BD=$\frac{1}{2}$a，
根据勾股定理得：CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
则OC=OD+DC=$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴点C到原点O的最大距离是$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

点评 此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．