Question

如图，⊙O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，
（1）求BC，AD，BD的长．
（2）若∠ABD的角平分线交⊙O于E，EF∥AD，求证直线EF是⊙O的切线．

Answer 1

解：（1）∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，AB=10cm，AC=6cm
∴BC²=AB²-AC²=10²-6²=64
∴BC==8（cm）
又∵CD平分∠ACB
∴
∴AD=BD
又∵在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²
∴AD²+BD²=10²
∴AD=BD==5（cm）；

（2）证明：连接OE，交AD与H，
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABE=∠FBE，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠ABE，
∴∠OEB=∠FBE，
∴OE∥BF，
∴∠OHD=∠ADB=90°，
∵EF∥AD，
∴∠OEF=90°，
∴直线EF是⊙O的切线．
分析：（1）根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值；
（2）连接OE，要证明直线EF是⊙O的切线，需要转化证明∠OEF=90°即可．
点评：本题考查了等腰直角三角形、圆周角定理以及勾股定理，以及切线的判定定理是基础知识比较简单．