Question

28、如图1，将等腰梯形ABCD的一条对角线BD平移到CE的位置，△CAE是等腰三角形吗？为什么？
如图2，△ABC是由四个全等三角形△ADF、△EFD、△DBF、△FEC拼成的，图中有平行四边形吗？如果有，请写出这些平行四边形并说明理由．
如图3，如果矩形ABCD和矩形AB′C′D′关于点A对称，那么四边形BDB′D′是菱形吗？如果是，请说明理由

Answer 1

分析：（1）根据平移的性质可得到CE∥BD，由已知可得AB∥CD，从而可根据两组边分别平行的四边形是平行是四边形，由平行四边形的性质可得BD=CE，由等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，从而可推出AC=CE，即△CAE是等腰三角形．
（2）有平行四边形，试证四边形BEFD是平行四边形．可根据全等三角形的对应边相等得到BD=EF，BE=DF，再根据两组边分别相等的四边形是平行四边形证得，同理可证得其他平行四边形．
（3）根据中心对称的性质可得到AB=AB′，AD=AD′，由矩形的性质可得∠BAD=B′AD′=90°，从而根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判定即可．

解答：解：（1）△CAE是等腰三角形．
∵CE是由BD平移得到，
∴CE∥BD，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=CE，
∵AC=BD，
∴AC=CE，
∴△CAE是等腰三角形．
（2）有平行四边形，分别是：?BEFD，?ADEF，?DECF．
∵△DBE≌△EFD，
∴BD=EF，BE=DF，
∴四边形BEFD是平行四边形．
同理：四边形ADEF是平行四边形，四边形DECF是平行四边形．
（3）是菱形．
∵矩形ABCD和矩形AB′C′D′关于点A对称，
∴AB=AB′，AD=AD′，
∵∠BAD=B′AD′=90°，
∴四边形BDB′D′是菱形．

点评：此题主要考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点的综合运用．