Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED，
∴∠BAD=∠C．（1分）
∵OC⊥AD于点F，
∴∠BAD+∠AOC=90°．（2分）
∴∠C+∠AOC=90°．
∴∠OAC=90°．
∴OA⊥AC．
∴AC是⊙O的切线．（4分）

（2）∵OC⊥AD于点F，
∴AF=

1

2

AD=8．（5分）
在Rt△OAF中，OF=

OA2-AF2

=6，（6分）
∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C，
∴△OAF∽△OCA．（7分）
∴

OA

OC

=

OF

OA

．
即OC=

OA2

OF

=

100

6

=

50

3

．（8分）
在Rt△OAC中，AC=

OC2-OA2

=

40

3

．（10分）