Question

2．如图，正比例函数y=$\frac{1}{2}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．

Answer 1

分析 根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为函数的系数和△OAM的面积为1可得k=2，即反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．要使PA+PB最小，需作出A点关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于点P，P为所求点．A点关于x轴的对称点C（2，-1），而B为（1，2），故BC的解析式为y=-3x+5，当y=0时，x=$\frac{5}{3}$，即可得出答案．

解答 解：设A点的坐标为（a，b），则b=$\frac{k}{a}$，
∴ab=k，
∵$\frac{1}{2}$ab=1，
∴$\frac{1}{2}$k=1
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．
根据题意画出图形，如图所示：
联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A为（2，1），
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1）．
令直线BC的解析式为y=mx+n
∵B为（1，2），
将B和C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-1}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=5}\end{array}\right.$
∴BC的解析式为y=-3x+5，
当y=0时，$\frac{5}{3}$，
∴P点为（$\frac{5}{3}$，0）．

点评 此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、轴对称等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．