Question

20．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm²．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的$\frac{2}{5}$，求横、竖彩条的宽度．

Answer 1

分析 （1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为$\frac{3}{2}$xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积-横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；
（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的$\frac{2}{5}$，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．

解答 解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为$\frac{3}{2}$xcm，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{20-2x＞0}\\{12-\frac{3}{2}x＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜x＜8，
y=20×$\frac{3}{2}$x+2×12•x-2×$\frac{3}{2}$x•x=-3x²+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=-3x²+54x（0＜x＜8）；

（2）根据题意，得：-3x²+54x=$\frac{2}{5}$×20×12，
整理，得：x²-18x+32=0，
解得：x₁=2，x₂=16（舍），
∴$\frac{3}{2}$x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．

点评 本题主要考查根据实际问题列函数关系式及一元二次方程的实际应用能力，数形结合根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积-横竖彩条重叠矩形的面积”列出函数关系式是解题的关键．