Question

4．如图1，抛物线y=mx²-11mx+24m（m＜0）与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧）．
（1）若点A在抛物线上，且OA=AC，∠BAC=90°，求此时抛物线的解析式；
（2）如图2，在（1）的条件下，点M始终位于抛物线上A，C两点之间，过点M作直线l：x=n，交直线AC于点N，连接AM，MC，试探究当n为何值时，△AMC的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数与x轴交点坐标求法可得出点B、C的坐标；如图，过点A作AE⊥x轴于点E．构建相似三角形：△ACE∽△BAE，由相似三角形的对应边成比例即可得出A点坐标，根据待定系数法来求二次函数解析式；
（2）首先求出过A、C两点的坐标的直线AC的解析式，进而利用二次函数图象上点的坐标特征求得点M的坐标，然后利用三角形的面积公式和二次函数最值的求法进行解答．

解答 解：（1）∵y=mx²-11mx+24m=m（x-3）（x-8），
∴B（3，0），C（8，0）．
∴OC=8．
如图，过点A作AE⊥x轴于点E．
∵OA=AC，
∴OE=CE=$\frac{1}{2}$OC=4．
∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=BE•CE=1×4，
∴AE=2，
∴点A的坐标为（4，2）．
把点A的坐标（4，2）代入抛物线y=mx²-11mx+24m，得m=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{11}{2}$x-12；       

（2）由A（4，2）、C（8，0）易得直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4．
则点N的坐标是（n，-$\frac{1}{2}$n+4）．
∵直线x=n与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（n，-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n-12），
∴MN=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n-12-（-$\frac{1}{2}$n+4）=-$\frac{1}{2}$n²+6n-16．
∴S_△AMC=S_△AMN+S_△CMN=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$n²+6n16）×4=-（n-6）²+4≥4．
∴当n=6时，△AMC的面积最大值为4．

点评 此题主要考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数、二次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出作出辅助线，推知△ACE∽△BAE是解决问题的关键．