练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=a（x+3）（x-4）与x轴从左到有依次交于A，B两点，于y轴的正半轴交于点C，且AB-OC=1．
    （1）如图1，求a的值；
    （2）如图2，点D在y轴的负半轴上，BD=5，点E在第二象限的抛物线上，其横坐标为t，设△BDE的面积为S求S与t间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
    （3）如图3，在（2）的条件下，当S=15时，将ED沿直线BE折叠，DE折叠后所在的直线交抛物线于点G，求G点的坐标．

    分析 （1）可先求得A、B坐标，再结合条件可求得C点坐标，代入抛物线解析式可求得a的值；
    （2）可先求得D点坐标，过E作ET⊥y轴于点T，可设出E点坐标，利用待定系数法可求得直线BE的解析式，从而可求得点F的坐标，则可求得DF，可用t表示出S；
    （3）由条件可先求得E、D、F的坐标，可求得直线DE的解析式，设DE交x轴于点K，连接KF，作EM⊥y轴于点H，GM⊥EM于点M，EN∥y轴于点N，可求得K点坐标，结合条件可证明△FOK≌△EHF，从而可求得∠FEK=∠FKE=45°，可得到∠GEM=∠DEN，再利用角的正切值可得到$\frac{GM}{EM}$=$\frac{DN}{EN}$，设出G点坐标，可表示出GM和EM，代入可求得G点坐标．

    解答 解：
    （1）当y=0时，则有a（x+3）（x-4）=0，
    解得x=-3或x=4，
    ∴A（-3，0），B（4，0），
    ∴AB=7，由AB-OC=1，
    ∴OC=6，
    ∴C（0，6），
    代入抛物线解析式可得-12a=6，解得a=-$\frac{1}{2}$；
    （2）如图1，过E作ET⊥y轴于点T，

    ∵B（4，0），
    ∴OB=4，
    ∵BD=5，
    ∴OD=3，
    ∴D（0，-3），
    ∵a=-$\frac{1}{2}$，
    ∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+3）（x-4），
    设E点横坐标为t，则其纵坐标为-$\frac{1}{2}$（t+3）（t-4），
    设直线BE解析式为y=kx+b，把B、E坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{kt+b=-\frac{1}{2}（t+3）（t-4）}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}（t+3）}\\{b=2（t+3）}\end{array}\right.$，
    ∴直线BE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（t+3）x+2（t+3），
    令x=0可得y=2（t+3），
    ∴F（0，2t+6），
    ∴DF=2t+6-（-3）=2t+9，
    ∴S=$\frac{1}{2}$（2t+9）（4-t）=-t2-$\frac{1}{2}$t+18，
    ∵E点在第二象限，
    ∴t的取值范围为-3≤t≤0；
    （3）由-t2-$\frac{1}{2}$t+18=15可解得t=$\frac{3}{2}$（舍去）或t=-2，
    ∴E（-2，3），F（0，2），
    设直线DE的解析式为y=sx+t，把D、E坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2t+s=3}\\{s=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{t=-3}\\{s=-3}\end{array}\right.$，
    ∴直线DE的解析式为y=-3x-3，
    如图2，设DE交x轴于点K，连接KF，作EM⊥y轴于点H，GM⊥EM于点M，EN∥y轴于点N，

    则K（-1，0），
    ∴EH=2=OF，HF=OK=1，且∠FOK=∠EHF=90°，
    在△FOK和△EHF中
    $\left\{\begin{array}{l}{OF=EH}\\{∠FOK=∠EHF}\\{OK=HF}\end{array}\right.$
    ∴△FOK≌△EHF（SAS），
    ∴EF=KF，∠EFH=∠FKO，
    ∵∠FKO+∠KFO=∠EFH+∠KFO=90°，
    ∴∠EFK=90°，
    ∴∠FEK=∠FKE=45°，
    ∴∠GED=90°，
    ∵∠MEN=90°，
    ∴∠GEM+∠MED=∠DEN+∠MED，
    ∴∠GEM=∠DEN，
    ∴tan∠GEM=tan∠DEN，
    ∴$\frac{GM}{EM}$=$\frac{DN}{EN}$，
    设G点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+6），
    则M（m，3），N（-2，-3），
    ∴GM=-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+6-3=-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+3，EM=m+2，DN=2，EN=6，
    ∴$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{1}{2}m+3}{m+2}$=$\frac{2}{6}$，解得m=-2（舍去）或m=$\frac{7}{3}$，
    ∴G点坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{40}{9}$）．

    点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、函数图象与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质、三角函数的定义等．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中用t表示出F点的坐标是解题的关键，在（3）中证得∠GEM=∠DEN是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    9．如图，扇形OAB上有一动点P，P从点A出发，沿$\widehat{AB}$、线段BO、线段OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是 （　　）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，某中学对七年级部分学生就一学期以来“小组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图．试根据图中提供的信息，回答下列问题：
    （1）求本次被调查的七年级学生的人数，
    （2）并补全条形统计图2
    （3）该校七年级级学生共有720人，请你你估计该校七年级有多少名学生支持“小组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    7．在函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$中，自变量x的取值范围是x≠±1．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    14．将一件商品按进价提高20%标价，然后又以九折出售，则该商品的利润率为8%．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．小明本学期的数学测验成绩如表所示：
    测验
    类别    		平时测验期中
    测验    		期末
    测验
    第1次第2此第3次第4次
    成绩808684909095
    （1）求六次测验成绩的众数和中位数；
    （2）求小明本学期的数学平时测验的平均成绩；
    （3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照3：3：4的比例计算所得，计算小明本学期学科的总评成绩．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    11．一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n是常数，且mn≠0），在同一平面立角坐标系的图象是（　　）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    8．哈尔滨地铁2号线总投资约2 000 000 000元，这个数用科学记数法可表示为2×109．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1，出租车离甲地的距离为y2，客车行驶时间为x，若y1，y2与x的函数关系图象如图所示，下列四种说法：
    （1）y2关于x的函数关系式为y2=60x（x≥0）．
    （2）行驶3.75小时，两车相遇．
    （3）出租车到达甲地时，两车相距最远．
    （4）出租车的速度是客车速度的1.5倍．
    其中一定正确的个数是（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案