Question

5．已知，如图，平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，∠BAC=90°，点P在线段BC上由B向C匀速运动，速度为2cm/s，点Q在线段CD上，由C向D匀速运动，速度是1cm/s．（P、Q两个点同时出发）连接PQ，设运动时间为t（s），（0＜t＜4）．过点Q做MQ∥AC交AD与M．
（1）是否存在时刻t，△PCQ恰好是等腰三角形？存在，求出相应的t值，不存在请说明理由；
（2）求MQ的长；（用含t的代数式表示）
（3）设△BQM的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据BP=2t，CQ=t可得出PC=10-2t再由∠PCQ＞90°可知只有一种，即CQ=CP，由此可得出t的值；
（2）根据CQ=t可得出DQ的长，再由MQ∥AC可得出△DMQ∽△DAC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）根据（2）中相似三角形的性质求出DM的长，进而可得出AM的长．过点A作AG⊥BC于点G，过点Q作QE⊥BC的延长线于点E，交AD于点F，根据三角形的面积公式可得出AG的长，再由△ABG∽△QCE可得出QE的长，进而得出QF的长，由S=S_{平行四边形ABC}-S_△BCQ-S_△DMQ-S_△ABM即可得出结论．

解答 解：（1）∵点P在线段BC上由B向C匀速运动，速度为2cm/s，点Q在线段CD上，由C向D匀速运动，速度是1cm/s，
∴BP=2t，CQ=t，
∴PC=10-2t．
∵平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，
∴∠ACD=90°，
∴∠PCQ＞90°，
∴CQ=CP，即t=10-2t，解得t=$\frac{10}{3}$（s）；

（2）∵AB=6cm，BC=10cm，∠BAC=90°，
∴AC=8cm．
∵CQ=t，AB=CD=6cm，
∴DQ=6-t．
∵MQ∥AC，
∴△DMQ∽△DAC，
∴$\frac{MQ}{AC}$=$\frac{DQ}{CD}$，即$\frac{MQ}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，解得MQ=8-$\frac{4}{3}$t；

（3）∵由（2）得，△DMQ∽△DAC，
∴$\frac{DM}{AD}$=$\frac{DQ}{CD}$，即$\frac{DM}{10}$=$\frac{6-t}{6}$，解得DM=10-$\frac{5}{3}$t，
∴AM=10-（10-$\frac{5}{3}$t）=$\frac{5}{3}$t．
过点A作AG⊥BC于点G，过点Q作QE⊥BC的延长线于点E，交AD于点F，
∵AB=6cm，BC=10cm，∠BAC=90°，
∴AG=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．
∵AB∥CD，
∴∠ABG=∠QCE．
∵AG⊥BC，QE⊥BC，
∴∠AGB=∠QEC，
∴△ABG∽△QCE，
∴$\frac{AB}{QC}$=$\frac{AG}{QE}$，即$\frac{6}{t}$=$\frac{\frac{24}{5}}{QE}$，解得QE=$\frac{4}{5}$t，
∴QF=$\frac{24}{5}$-$\frac{4}{5}$t，
∴S=S_{平行四边形ABC}-S_△BCQ-S_△DMQ-S_△ABM
=BC•AG-$\frac{1}{2}$BC•QE-$\frac{1}{2}$DM•QF-$\frac{1}{2}$AM•AG
=10×$\frac{24}{5}$-$\frac{1}{2}$×10×$\frac{4}{5}$t-$\frac{1}{2}$×（10-$\frac{5}{3}$t）×（$\frac{24}{5}$-$\frac{4}{5}$t）-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$t×$\frac{24}{5}$
=48-4t-$\frac{2}{3}$t²+8t-24-4t
=24--$\frac{2}{3}$t²（0＜t＜4）．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．