Question

已知：如图，AD是△ABC的边BC上的高，且AD是BD与DC的比例中项．求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

证明：∵AD是BD与DC的比例中项，
∴AD²=BD•DC，
∴，
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形．
分析：由AD是BD与DC的比例中项，根据比例中项的性质，即可得AD²=BD•BC，∠B=∠B，可知△ABD∽△CAD，由AD是△ABC的边BC上的高，则可求得∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．