Question

如图，矩形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，点B的坐标是（

3

，1），点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处．
（1）若点P在一次函数y=2x-1的图象上，求点P的坐标；
（2）若点P在抛物线y=ax²图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；
（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值．

Answer 1

（1）∵B（

3

，1）
∴BC=OA=OP=1，OC=

3

．
∵点P在一次函数y=2x-1的图象上
∴设P（x，2x-1）
如图，过P作PH⊥x轴于H
在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1
∴x²+（2x-1）²=1
解得：x₁=

4

5

，x₂=0（不合题意，舍去）
∴P（

4

5

，

3

5

）（2分）

（2）连接PB，PC
①若PB=PC，则P在BC中垂线y=

1

2

上
∴设P（x，

1

2

），如图，过P作PH⊥x轴于H
在Rt△OPH中，PH=

1

2

，OH=x，OP=1
∴x²+

1

4

=1
解得：x₁=

3

2

，x₂=-

3

2

（不合题意，舍去）
∴P（

3

2

，

1

2

）
∴

1

2

=a×

3

4

，
得a=

2

3

∴y=

2

3

x²（2分）
②若BP=BC，则BP=1，连接OB
∵OP=1
∴OP+PB=2
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB=

3+1

=2
∴OP+PB=OB
∴O，P，B三点共线，P为线段OB中点．
又∵B（

3

，1）
∴P（

3

2

，

1

2

）
∴

1

2

=a×

3

4

，
解得：a=

2

3

∴y=

2

3

x²
③若CP=CB，则CP=1
∵OP=1
∴PO=PC，则P在OC中垂线x=

3

2

上
∴设P（

3

2

，y）．
过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=

3

2

，OP=1
∴y²+

3

4

=1
解得：y₁=

1

2

，y₂=-

1

2

∴P（

3

2

，

1

2

）或（

3

2

，-

1

2

）
当点P（

3

2

，-

1

2

）时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意．
若点P（

3

2

，

1

2

），则

1

2

=a×

3

4

，解得：a=

2

3

．∴y=

2

3

x²
若点P（

3

2

，-

1

2

），则-

1

2

=a×

3

4

，解得：a=-

2

3

∴y=-

2

3

x²（2分）

（3）如图，∵△OAD沿OD翻折，点A落在点P处
∴OD垂直平分AP
∵PC⊥OD
∴A，P，C三点共线．
在Rt△AOD中，∠OAD=90°，OA=1
又可得：∠AOD=30°
∴AD=AO•tan30°=

3

3

，
∴D（

3

3

，1）
作点B关于直线AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于点N，连接DB′，DB′与AC交点为M，此点为所求点．
∵∠ACB′=∠ACB=60°，∠ACO=30°
∴∠B′CO=30°
∵B′C=BC=1
∴B′（

3

2

，-

1

2

），
∴N（

3

2

，1）
在Rt△B′ND中，∠B′ND=90°，B′N=

3

2

，DN=AN-AD=

3

2

-

3

3

=

3

6

∴DB′=

DN2+B′N2

=

21

3

∴DM+BM的最小值为

21

3

．（2分）