Question

3．（1）如图1，E、F是正方形ABCD的边AB及DC延长线上的点，且BE=CF，则BG与BC的数量关系是BG=$\frac{1}{2}$BC．
（2）如图2，D、E是等腰△ABC的边AB及AC延长线上的点，且BD=CE，连接DE交BC于点F，DG⊥BC交BC于点G，试判断GF与BC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明△BEG≌△CFG即可．
（2）如图2中，作DH∥AE交CB于H．首先证明DH=DB=CE，由DG⊥BH，推出BG=GH，由△FDH≌△FEC，推出FH=CF，推出FG=GH+FH=$\frac{1}{2}$BH+$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$（BH+CH）=$\frac{1}{2}$BC即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CF，
∴∠BEG=∠F，
在△BEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEG=∠F}\\{∠EGB=∠CGF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△CFG，
∴BG=CG，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC，
故答案为BG=$\frac{1}{2}$BC．

（2）如图2中，作DH∥AE交CB于H．

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵DH∥AE，
∴∠DHB=∠ACB，∠HDF=∠E，
∴∠B=∠DHB，
∴DH=DB=CE，
∵DG⊥BH，
∴BG=GH，
在△FDH和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDH=∠E}\\{∠DFH=∠EFC}\\{DH=CE}\end{array}\right.$，
∴△FDH≌△FEC，
∴FH=CF，
∴FG=GH+FH=$\frac{1}{2}$BH+$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$（BH+CH）=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，所以中考常考题型．