Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（-4，-

25

2

），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a（x+4）²-

25

2

，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA、OC、AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出∠OAC的正弦值与余弦值，再分①AD=Q₁D时，过Q₁作Q₁E₁⊥x轴于点E₁，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ₁，再利用∠OAC的正弦求出Q₁E₁的长度，根据∠OAC的余弦求出AE₁的长度，然后求出OE₁，从而得到点Q₁的坐标；②AD=AQ₂时，过Q₂作Q₂E₂⊥x轴于点E₂，利用∠OAC的正弦求出Q₂E₂的长度，根据∠OAC的余弦求出AE₂的长度，然后求出OE₂，从而得到点Q₂的坐标；③AQ₃=DQ₃时，过Q₃作Q₃E₃⊥x轴于点E₃，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE₃的长度，然后求出OE₃，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q₃E₃的长度，从而得到点Q₃的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-

25

2

），
∴设抛物线解析式为y=a（x+4）²-

25

2

，
∵抛物线过点B（1，0），
∴a（1+4）²-

25

2

=0，
解得a=

1

2

，
所以，抛物线解析式为y=

1

2

（x+4）²-

25

2

，
即y=

1

2

x²+4x-

9

2

；

（2）存在点Q₁（-1，-4），Q₂（2

5

-9，-

5

），Q₃（-

13

2

，-

5

4

）．
理由如下：∵抛物线顶点坐标为（-4，-

25

2

），
∴点D的坐标为（-4，0），
令x=0，则y=-

9

2

，
令y=0，则

1

2

x²+4x-

9

2

=0，
整理得，x²+8x-9=0，
解得x₁=1，x₂=-9，
∴点A（-9，0），C（0，-

9

2

），
∴OA=9，OC=

9

2

，AD=-4-（-9）=-4+9=5，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

92+( 9 2 )2

=

9 5

2

，
∴sin∠OAC=

OC

AC

=

9 2

9 5 2

=

5

5

，
cos∠OAC=

OA

AC

=

9

9 5 2

=

2 5

5

，
①AD=Q₁D时，过Q₁作Q₁E₁⊥x轴于点E₁，
根据等腰三角形三线合一的性质，AQ₁=2•ADcos∠OAC=2×5×

2 5

5

=4

5

，
Q₁E₁=AQ₁•sin∠OAC=4

5

×

5

5

=4，
AE₁=AQ₁•cos∠OAC=4

5

×

2 5

5

=8，
所以，OE₁=OA-AE₁=9-8=1，
所以，点Q₁的坐标为（-1，-4）；
②AD=AQ₂时，过Q₂作Q₂E₂⊥x轴于点E₂，
Q₂E₂=AQ₂•sin∠OAC=5×

5

5

=

5

，
AE₂=AQ₂•cos∠OAC=5×

2 5

5

=2

5

，
所以，OE₂=OA-AE₂=9-2

5

，
所以，点Q₂的坐标为（2

5

-9，-

5

）；
③AQ₃=DQ₃时，过Q₃作Q₃E₃⊥x轴于点E₃，
则AE₃=

1

2

AD=

1

2

×5=

5

2

，
所以，OE₃=9-

5

2

=

13

2

，
∵Q₃E₃⊥x轴，OC⊥OA，
∴△AQ₃E₃∽△ACO，
∴

Q3E3

AE3

=

OC

OA

，
即

Q3E3

5 2

=

9 2

9

，
解得Q₃E₃=

5

4

，
所以，点Q₃的坐标为（-

13

2

，-

5

4

），
综上所述，在线段AC上存在点Q₁（-1，-4），Q₂（2

5

-9，-

5

），Q₃（-

13

2

，-

5

4

），使得△ADQ为等腰三角形．

点评：本题是二次函数和综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点的求解，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，综合性较强，但难度不大，（2）要分情况讨论．