Question

如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动．圆心移动时，圆也跟着移动．设点P和点Q运动的时间为t（秒）．如图2，当时，设四边形APQB的面积为s．
（1）求s与t的函数关系式；
（2）如图3，当⊙P和⊙Q外切时，求s的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，得AP=3t，CQ=t．
∵点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），OB的中点C，
∴OP=OA-AP=10-3t，
OQ=OC-CQ=OB-CQ
=×10-t
=5-t，
∴S_{四边形APQB}=S_△OAB-S_△OPQ
=OA•OB-OP•OQ
=×10×10-（10-3t）（5-t），
∴S_{四边形APQB}=．

（2）当⊙P和⊙Q外切时，PQ=4+1=5．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=25，
∴t=2或t=5（舍去），
当t=2时，
s=
=44，
当⊙P和⊙Q外切时，s=44．

（3）在运动的过程中，存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切．
当⊙P和⊙Q内切时，PQ=4-1=3．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=9，
解得t=，
∴点P的坐标为（0，）．
分析：（1）由于S_{四边形APQB}=S_△OAB-S_△OPQ=OA•OB-OP•OQ，故用含t的代数式分别表示OP、OQ而求解；
（2）由勾股定理建立关于t的方程，求得t后，再求S；
（3）构造一个直角三角形，结合两圆内切的圆心距等于两圆半径之差和勾股定理，进行计算．
点评：本题难度较大，主要利用了数形结合的思想、勾股定理、两圆的位置关系、一元二次方程的解法等知识点求解，对各知识点要灵活应用．