Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2-

【解析】

（1）若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与半径垂直，故连接OE，证明OE∥AD即可；

（2）根据等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．

解：（1）连接OE．

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA，

又∵∠DAE＝∠OAE，

∴∠OEA＝∠DAE，

∴OE∥AD，

∴∠ADC＝∠OEC，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°，

故∠OEC＝90°．

∴OE⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠C＝45°，

∴△OCE是等腰直角三角形，

∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，

∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝2×2﹣＝2﹣．