Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，过点A作AM⊥BE，交对角线BD于M，连接ME．探究ME与DF之间的位置关系并证明．
说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．
①可画出将△ABE沿BA方向平移BA的长度，再绕点A顺时针旋转90°后的图形；
②∠DEM=∠AEB．

Answer 1

（1）解：ME与DF之间的位置关系是垂直，
理由：由正方形ABCD，得∠DAB=∠DAB，AD=AB，
∵E、F分别是AD、AB的中点，
∴AE=AF，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠ADF=∠EBA，
只要证出∠AEB=∠DEM即可．

（2）证明：DF交EM于O，
∵∠ADF=∠EBA，∠AEB=∠DEM，
∵∠DAB=90°，
∴∠EBA+∠AEB=90°，
∴∠ADF+∠DEM=90°，
∴∠DOE=180°-90°=90°，
∴EM⊥DF，
即ME与DF之间的位置关系是垂直．
分析：（1）根据正方形的性质推出AE=AF，AD=AB，∠DAB=∠DAB=90°，证△ABE≌△ADF，推出∠ADF=∠EBA即可；
（2）推出∠ADF+∠DEM=90°，根据三角形的内角和定理求出∠DOE的度数即可．
点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠ADF=∠EBA是解此题的关键．