Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接OE，易得∠ADB=90°，证明∠BOE=∠A，联立∠C=∠ABD可求证．

（2）连接BE，根据同弧所对的圆周角先证明△BEF∽△BOE，根据相似三角形的性质求出EF的长度．

解：（1）连接OE，

∵AB是 的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠ABD=90°，

由图可知∠BOE=2∠BDE

又∵∠A=2∠BDE

∴∠A=∠BOE

∵∠C=∠ABD

∴∠BOE+∠C=90°

∴OE⊥EC

∴CE是⊙O的切线．

（2）连接BE，

有图可知∠BED=∠A=∠BOE，

∴△BEF∽△BOE

∴

∵OB=OE=5,BF=2

∴BE=EF

∴EF2=OE·BF=10

∴EF=

故答案为：（1）证明见解析；（2）．