Question

14．如图，等边三角形ABC，D为BC边的中点，AD=12，P为AC的中点，问在AD是否存在一点Q，使CQ+PQ最小，如果存在，写出作图思路，画出Q的位置，并求出这个最小值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 存在．如图，连接PB交AD于点Q，此时QP+CQ的值最小．根据等边三角形的性质，等边三角形的两条中线相等．

解答 解：存在．如图，连接PB交AD于点Q，此时QP+CQ的值最小．

∵△ABC是等边三角形，BD=CD，
∴QB=QC，
∴CQ+PQ=BP+PQ=PB，
∵AP=PC，BD=CD，
∴AD、BP是△ABC的中线，且AD=BP=12．
∴CQ+PQ的最小值为12．

点评 本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．