Question

如图抛物线y=ax²+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，与y轴交于C，若抛物线过点E（-1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由；
（3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）因为抛物线y=ax²+ax+c（a≠0）的对称轴是x=-=，AB=3，
所以A、B两点的坐标为（-2，0）、（1，0），
又因为E（-1，2）在抛物线上，
代入y=ax²+ax+c
解得a=-1，c=2，
所以y=-x²-x+2；

（2）如图
过A作BC的平行线交抛物线于点P，
∵设直线BC的解析式为：y=kx+b，
B点坐标为：（1，0），C点坐标为；（0，2），
∴，
∴y=-2x+2，
∵A作BC的平行线交抛物线于点P，
∴y=-2x+b，将（-2，0）代入解析式即可得出，
所以过A点的直线为y=-2x-4，
∴两函数的交点坐标为：
由-x²-x+2=-2x-4，
解得x₁=-2（舍去），x₂=3，
所以与抛物线的交点P为（3，-10）；

（3）连接DC、BC，
DC=2，BC=，CE=1，CF=0.5，
得
而夹角∠DCE=∠BCF，
∴△CDE∽△CFB，而∠ECF=90°，
∴DE⊥BF且DE=2BF．
分析：（1）抛物线y=ax²+ax+c（a≠0）的对称轴是x=-=，又因与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB=3，求出A、B点的坐标，解决第一问；
（2）因为S_△ABC=3，△PBC的面积是3，说明P点一定在过A点平行于BC的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过A点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；
（3）连接DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点公式、待定系数法、图形的旋转、相似三角形，渗透数形结合思想．