Question

金秋仲元，绿荫有情，湖水弄波，盛装以待，宾朋汇聚，相约一个共同的庆典--2009年广东仲元中学七十五周年华诞．近年来仲元中学共有14位同学荣获理科综合省状元．各学科竞赛国家级、省级奖数不胜数…闪光的奖牌，凝聚着智慧与汗水；诸多的殊荣，彰显厚重与气度．
而数字2009在数学上也有着它特别的性质．就如有些自然数可以分成两个自然数的平方和，如：5=1²+2²，13=2²+3²，41=4²+5²，65=4²+7²，…，
请你探究：2009能分成两个自然数的平方和吗？若能，请写出来；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：

分析：首先假设能，则设2009=（2n+1）²+（2m）²，即可得：m²+n²+n=502与m²=502-n（n+1）②与n（n+1）=502-m²③，由n和n+1是连续自然数，则可得502-n（n+1）与m必是偶数，则可求得m与n的值．

解答：解：

m	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
m2	4	16	36	64	100	144	196	256	324	400	484
△	1993	1945	1865	1753	1609	1433	1225	985	713	408	73
△	※	※	※	※	※	※	35	※	※	※	※

若能，这两个自然数必然一奇数一偶数．
不妨设2009=（2n+1）²+（2m）²（※），
∵其中m，n为自然数．
化简方程（※）得：m²+n²+n=502①，
对方程①进行变形，得如下两个等式：m²=502-n（n+1）②与n（n+1）=502-m²③，
首先，由②式可知，m必然是偶数．
∵n和n+1是连续自然数，
∴n（n+1）必是偶数，
∴502-n（n+1）必是偶数．
即m²必是偶数，于是m必是偶数．
再由③得，502-m²≥0，
∴0≤m＜23．
综上可知，m的可取值是2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22．
∵n是自然数，
∴计算这些方程的根的判别式：△=1+4（502-m²），
只要找到m取哪些值能使△的值为完全平方数即可．列表如上图：
从表可以看出，当m=14时，△是完全平方数．
此时自然数n=17，2n+1=35，2m=28．
∴2009=35²+28²．

点评：此题考查了整数问题的综合应用．注意2009=（2n+1）²+（2m）²并发现502-n（n+1）与m必是偶数是解此题的关键．