由于交通不畅.某山区生产的一种特产只能在当地销售.且每年的销售利润P与投资金额x之间满足二次函数关系．当每年投资金额为40万元时.销售利润为60万元,当每年投资金额为60万元时.销售利润取得最大值64万元.当地政府为开发该特产的销售.规划在五年内对该项目投入100万元的销售投资.在实施规划的前两年.每年都从100万元中拨出50万元用于修� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．由于交通不畅，某山区生产的一种特产只能在当地销售，且每年的销售利润P（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系．当每年投资金额为40万元时，销售利润为60万元；当每年投资金额为60万元时，销售利润取得最大值64万元，当地政府为开发该特产的销售，规划在五年内对该项目投入100万元的销售投资，在实施规划的前两年，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的三年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售时，每年的销售利润为：每投入x万元，可获利润Q（万元）满足Q$Q=-\frac{99}{100}{（100-x）^2}+\frac{294}{5}（100-x）+160$．
（1）求每年的销售利润P（万元）与投资金额x（万元）之间的函数关系式．
（2）若按规划实施，
①前两年销售利润的最大值是多少？
②五年销售利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）该规划是否具有实施价值？为什么？

分析（1）根据题意设P=a（x-60）²+64，将x=40、y=60代入求出a即可得；
（2）①注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大，代入求出相应的P的值即可；
②后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，即可得函数y=P+Q=-$\frac{4}{25}$（a-60）²+64+[-$\frac{99}{100}$a²+$\frac{294}{5}$a+160]，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值；
（3）比较不实施规划时5年的总利润与实施规划方案5年的销售总利润可知，该方案是具有极大的实施价值．

解答解：（1）根据题意，设P=a（x-60）²+64，
将x=40，y=60代入，得：400a+64=0，解得：a=-$\frac{4}{25}$，
故P与x的函数关系式为：P=-$\frac{4}{25}$（x-60）²+64；

（2）①前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，
所以x=50时，P值最大，即这两年的获利最大为：-$\frac{4}{25}$×100+64=48（万元）；

②后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，
∴Q=-$\frac{99}{100}$[100-（100-a）]²+$\frac{294}{5}$[100-（100-a）]+160=-$\frac{99}{100}$a²+$\frac{294}{5}$a+160，
∴y=P+Q=-$\frac{4}{25}$（a-60）²+64+[-$\frac{99}{100}$a²+$\frac{294}{5}$a+160]=-$\frac{23}{20}$a²+78a-352，
当x=-$\frac{78}{2×（-\frac{23}{20}）}$=$\frac{780}{23}$时，y取得最大值，最大值为$\frac{4×（-\frac{23}{20}）×（-352）-7{8}^{2}}{4×（-\frac{23}{20}）}$=$\frac{22324}{23}$（万元），
∴这三年的获利最大为$\frac{22324}{23}$×3=$\frac{66972}{23}$（万元），
∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：48+$\frac{66972}{23}$-50×2=$\frac{65776}{23}$（万元）；

（3）有很大的实施价值．
如果不实施规划，5年的总利润为5×64=320（万元），
规划后5年总利润为$\frac{65776}{23}$万元，不实施规划方案仅为320万元，故具有很大的实施价值．

点评此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法．

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