Question

如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．
解答下列问题：
（1）若BC=10，BE=8，求CD的值；
（2）求证：DF•DB=EG•EF．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质及圆周角定理等可得到CE=CD，因此只要求出CE就可求出CD，CE可通过勾股定理来求解．
（2）根据切割线定理及相似三角形的判定即可得到所求的结论．

解答：（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD
∴∠ABC+∠A=90°，∠CBD+∠BCD=90°
∵CD为⊙O切线
∴∠BCD=∠A
∴∠ABC=∠BCD
∵CD⊥BD，CE⊥BE
∴CE=CD
∴CE=

BC2-BE2

=

100-64

=6
∴CD=6

（2）证明：∵CD为切线，BD为割线
∴CD²=DF•DB①
∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴RT△ACE∽RT△CBE
∴CE²=EA•EB②
∵EG•EF=EA•EB③
由①②③及CD=CE得DF•DB=EG•EF．

点评：此题主要考查相似的判定，切割线定理，相交弦定理以及勾股定理的综合运用．