如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)当α=60°时,求CE的长;
(2)当60°<α<90°时,
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.
解:(1)∵α=60°,BC=10,∴sinα=,即sin60°=
,解得CE=
。
(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF。理由如下:
连接CF并延长交BA的延长线于点G,
∵F为AD的中点,∴AF=FD。
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠G=∠DCF。
在△AFG和△CFD中,
∵∠G=∠DCF,∠G=∠DCF,AF=FD,
∴△AFG≌△CFD(AAS)。∴CF=GF,AG=CD。
∵CE⊥AB,∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点,∴AG=5,AF=AD=
BC=5。∴AG=AF。
∴∠AFG=∠G。
在△AFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
又∵∠CFD=∠AFG,∴∠CFD=∠AEF。
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF。
②设BE=x,∵AG=CD=AB=5,∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x,
在Rt△BCE中,CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。
在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x。
∵CF=GF(①中已证),∴CF2=(CG)2=
CG2=
(200﹣20x)=50﹣5x。
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣)2+50+
。
∴当x=,即点E是AB的中点时,CE2﹣CF2取最大值。
此时,EG=10﹣x=10﹣,CE=
,
∴。
解析
科目:初中数学 来源: 题型:
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2 |
3 |
5 |
A、AC⊥BD |
B、四边形ABCD是菱形 |
C、△ABO≌△CBO |
D、AC=BD |
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