Question

【题目】如图，是的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点．且．

(1)求证：是的切线．

(2)若的半径为， ，则的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2

【解析】

（1）由垂直定义得∠A＋∠APO＝90°，根据等腰三角形的性质由CP＝CB得∠CBP＝∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB＝∠APO，所以∠APO＝∠CBP，而∠A＝∠OBA，所以∠OBC＝∠CBP＋∠OBA＝∠APO＋∠A＝90°，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；
（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到（）2＋x2＝（x＋1）2，然后解方程即可．

（1）连结OB．

∵OP⊥OA，

∴∠A+∠APO=90°．

∵CP=CB，∴∠CBP=∠CPB．

∵∠CPB=∠APO，∴∠APO=∠CBP．

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA．

∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°．

∴OB⊥BC．

∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线．

（2）解：设BC＝x，则PC＝x，
在Rt△OBC中，OB＝，OC＝CP＋OP＝x＋1，
∵OB2＋BC2＝OC2，
∴（）2＋x2＝（x＋1）2，
解得x＝2，
即BC的长为2．