Question

如图，BC为半圆O的直径，CA为切线，AB交半圆O于点E，EF⊥BC于点F，连接EC．则图中与△CEF相似的三角形共有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由CA为圆的切线，得到CA与BC垂直，又EF垂直于BC，得到EF与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由一对直角相等可得出三角形ACE与三角形CEF相似；由BC为圆的直径，得到∠BEC为直角，而∠EFC为直角，得到一对直角相等，再由一对公共角，得到三角形CEF与三角形BEC相似；同理三角形EFC与三角形ABC相似；三角形BEF与三角形EFC相似，故图中与三角形DEF相似的三角形共有4个．

解答：解：图中与△CEF相似的三角形共有4个，分别为△ACE∽△CEF；△CBE∽△CEF；△ABC∽△CEF；△EBF∽△CEF，
理由为：∵CA为圆的切线，
∴CA⊥BC，又EF⊥BC，
∴EF∥AC，
∴∠CEF=∠ACE，
又BC为圆的直径，
∴∠BEC=∠CEA=90°，
∴∠EFC=∠CEA=90°，
∴△ACE∽△CEF；
∵∠BEF+∠FEC=90°，∠BEF+∠EBC=90°，
∴∠FEC=∠EBC，
∵∠EFC=∠BFE=90°，
∴△EBF∽△CEF；
∵∠FEC=∠EBC，∠ECF=∠BCE，
∴△CBE∽△CEF；
∵∠FEC=∠EBC，∠EFC=∠BCA=90°，
∴△ABC∽△CEF．
故选D

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．