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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（3，0）、（0，4），动点M从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动，连接MO并延长交CD于精英家教网点N，过点N作NP⊥BD，交BD于点P，连接MP，当动点M运动了t秒时．
    （1）N点的坐标为
     
    ，P点的坐标为
     
    （用含t的代数式表示）；
    （2）记△MNP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜5），并求出当t取何值时，S有最大值，最大值是多少？
    （3）在M出发的同时，有一动点Q从A点开始在线段AO上以每秒
    12
    个单位长度的速度向点O移动，试求当t为何值时，△AMQ与△AOB相似．
    分析：（1）本题关键是求N的坐标，有了N的坐标也就求出了P的坐标，我们不难发现M，N关于原点对称，因此只要求出M的坐标就求出了N的坐标，我们看M的坐标，我们知道M的速度，可以用时间t表示出BM的长，那么OB-BM•sin∠BAC就是M的纵坐标，BM•sin∠ABP就是M的横坐标，∠BAC和∠ABP的正弦值可以在△AOB中求出因此就能求出M、N、P的坐标了；
    （2）可以把NP当做△MNP的底边，那么它的长度就是N点横坐标的绝对值，而NP边上的高就是M、P纵坐标的差的绝对值，因此可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式；
    （3）要分情况讨论：因为两个三角形公用了∠BAO因此只要看看另外的△MQA中另外的两个角哪个当直角就可以了，可根据三角形相似得出线段的比例来求解．
    解答：解：（1）由图可得OB-BM•sin∠BAC就是M的纵坐标，BM•sin∠ABP就是M的横坐标，
    于是得N（-
    3
    5
    t，-4+
    4
    5
    t），P（0，-4+
    4
    5
    t）；精英家教网

    （2）S=
    1
    2
    |NP|•h=
    1
    2
    •
    3
    5
    t•（8-
    8
    5
    t）=-
    12
    25
    （t-
    5
    2
    ）2+3，
    t=
    5
    2
    时，S有最大值，Smax=3；

    （3）△AMQ与△AOB相似，分情况讨论：
    ①∠MQA=90°时，则M、Q的横坐标相等，
    xM=xQ，xM=
    3
    5
    t，xQ=3-
    1
    2
    t，
    ∴t=
    30
    11
    ；
    ②∠QMA=90°时，由△AQM∽△AOB可得，
    AM
    AO
    =
    AQ
    AB
    ，
    5-t
    3
    =
    1
    2
    t
    5
    ，t=
    50
    13
    ；
    ③因为∠BAC不可能是直角，所以这种情况不存在，
    ∴当t为
    30
    11
    或
    50
    13
    时，△AMQ与△AOB相似．
    点评：本题主要考查了二次函数的应用，菱形的性质等知识点，要注意（3）中要根据不同的对应角来分情况进行讨论．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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