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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是（4，0），∠AOB=60°，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿OB向右移动，设t秒后，精英家教网PQ交OC于点R．
    （1）设a=2，t为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的
    1
    4
    ；
    （2）设a=2，OR=
    8
    		3
    5
    ，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
    （3）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形与以O、B、C为顶点的三角形相似（只写答案，不必说理）．
    分析：（1）作AD⊥OB于D，根据等量关系S四边形APQO=
    1
    4
    S菱形AOBC列出方程，求出t的值；
    （2）作CH⊥x轴于H，菱形的性质得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
    （3）根据相似三角形的性质得当a=1时，△ORQ∽△OBC．
    解答：解：（1）作AD⊥OB于D，
    在Rt△AOD中，OA=4，∠AOD=60°，Sin60°=
    AD
    4
    ，AD=2
    		3
    ，
    ∵S梯形APQO=
    1
    2
    (AP+OQ)×AD=
    1
    2
    (t+at)×2
    		3
    ，
    ∴当a=2时，S梯形APQO=
    1
    2
    ×3t×2
    		3
    =3
    		3
    t    ．
    ∴由S梯形APQO=
    1
    4
    S菱形AOBC=
    1
    4
    ×4×2
    		3
    =2
    		3
    ．
    ∴3
    		3
    t=2
    		3
    ∴t=
    2
    3
    ．

    （2）作CH⊥x轴于H，
    在Rt△CBH中，BC=OB=4，∠CBH=∠AOB=60°，
    ∴cos60°=
    BH
    BC
    ．
    ∴BH=4×
    1
    2
    =2，sin60°=
    CH
    BC
    ．
    ∴CH=4×
    		3
    2
    =2
    		3
    ．
    在Rt△OCH中，由勾股定理得，OC=4
    		3
    ，
    ∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，
    ∴
    OQ
    PC
    =
    OR
    RC
    ．
    另一方面，
    当a=2时，OQ=at=2t，PC=4-t，RC=OC-OR=4
    		3
    -
    8
    		3
    5
    =
    12
    		3
    5
    ，
    ∴
    2t
    4-t
    =
    8
    		3
    5
    12
    		3
    5
    ，
    ∴t=1，解得P（3，2
    		3
    ），Q（2，0）．精英家教网
    ∴解析式为y=2
    		3
    x-4
    		3
    ．

    （3）当a=1时，△ORQ∽△OBC，理由如下：
    ∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，得
    OR
    4
    		3
    -OR
    =
    at
    6-(2+t)
    ，
    ∴OR=
    4
    		3
    at
    4-t+at
    ．
    ∴当
    OR
    OC
    =
    OQ
    OB
    ，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OBC．
    此时，
    OR
    OC
    =
    OQ
    OB
    得
    4
    		3
    at
    4-t+at
    4
    		3
    =
    at
    4
    ，
    所以at-t=0，t（a-1）=0，
    ∴t=0（舍去）．
    ∵a-1=0，
    ∴a=1．
    当
    OR
    OB
    =
    OQ
    OC
    ，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OCB．
    即
    4
    		3
    at
    4-t+at
    4
    =
    at
    4
    		3
    ，
    解得：at-t=8，
    a=1+
    8
    t
    ．
    点评：本题考查了一次函数和实际相结合的问题，注意菱形，梯形的性质及相似三角形的性质的应用．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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