Question

8．如图，△ABC中，D是BC的中点，AC∥BG，直线FG过点D交AC于F，交BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连结GE、EF．
（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．

解答 （1）证明：∵BG∥AC
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD
在△BGD与△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠DCF}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\\{∠BDG=∠CDF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
（2）解：BE+CF＞EF．理由如下：
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF

点评 本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．