Question

【题目】如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）求PD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明：连接OA。

∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°。

又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°。∴∠AOP=60°。

∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°。∴∠OAP=90°。∴OA⊥AP。

∴AP是⊙O的切线。

（2）解：连接AD。

∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°。∴AD=ACtan30°=3×。

∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°。

∴∠P=∠PAD。∴PD=AD=。

【解析】（1）连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线。

（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长。