Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与直线y=-2x+3交于点P，直线y=-2x+3与x轴交于点A，与y轴交于B．
（1）求点P的坐标；
（2）过点P作PD⊥AB分别交x、y轴于D、C，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据两直线相交的问题，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+3}\end{array}\right.$即可得到P点坐标；
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点和A点坐标，再利用两点间的距离公式计算出PB和AB，然后证明Rt△BPC∽Rt△BOA，则可利用相似比求出BC，从而得到OC的长，则可确定C点坐标．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以P点坐标为（1，1）；
（2）当x=0时，y=-2x+3=3，则B（0，3），、
当y=0时，-2x+3=0，解得x=$\frac{3}{2}$，则A（$\frac{3}{2}$，0），
∴BP=$\sqrt{{1}^{2}+（1-3）^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵PD⊥AB，
∴∠BPC=90°，
而∠PBC=∠OBA，
∴Rt△BPC∽Rt△BOA，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BP}{BO}$，即$\frac{BC}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴BC=$\frac{5}{2}$，
∴OC=OB-BC=3-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴C（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了相似三角形的判定与性质．