已知:三点A(a,1)、B(3,1)、C(6,0),点A在正比例函数y=x的图象上.
(1)求a的值;
(2)点P为x轴上一动点.
①当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时,求点P的坐标;
②当∠APB=20°时,求∠OAP+∠PBC的度数.
(1)∵点A(a,1)在正比例函数y=x的图象上,
∴a=2.
(2)①如图,作点A关于x轴对称点A′,可得A′(2,-1).
连结A′B交x轴关于点P.
设直线A′B的解析式为y=kx+b(k≠0)
,可得此直线的解析式为y=2x-5.
当y=0时,x=2.5.
当AP+BP取得最小值时,可得△OAP与△CBP周长的和取得最小值,此时点P的坐标为(2.5,0).
②如图,设AA′交x轴于点K.连结OA′、OB、AB,作BM⊥OC于M.
∵A′K=AK=AB=1,∠OKA′=∠A′AB=90°,OK=AA′=2,
∴△OKA′≌△A′AB.(4分)
∴OA′=A′B,∠OA′K=∠ABA′.
∵在Rt△AA′B中,
∠ABA′+∠AA′B =90°,
∴∠OA′B=90°.
∴△OA′B为等腰直角三角形.
∴∠BOA′=∠BOC+∠A′OC=45°.
∵BM⊥OC,OM=MC=3,∴OB=BC. ∴∠BOC=∠BCO.
∵∠AOC=∠A′OC, ∴∠AOC+∠BCO=45°.
如图,当∠APB=20°时,
∠OAP+∠PBC
=360°-(∠AOC+∠BCO)-(∠APO+∠BPC)
=360°-45°-(180°-20°)=155°.
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