Question

17．已知x=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，求x²-xy+y²和$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值．

Answer 1

分析 先计算除x+y=$\sqrt{3}$，xy=$\frac{1}{2}$，再利用完全平方公式和通分得到x²-xy+y²=（x+y）²-3xy，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$，然后利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：∵x=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴x+y=$\sqrt{3}$，xy=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴x²-xy+y²=（x+y）²-3xy=（$\sqrt{3}$）²-3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．注意使用整体代入的方法计算．