【题目】对于给定的两个函数和,在这里我们把叫做这两个函数的积函数,把直线和叫做抛物线的母线.
(1)直接写出函数和的积函数,然后写出这个积函数的图象与x轴交点的坐标.
(2)点P在(1)中的抛物线上,过点P垂直于x轴的直线分别交此抛物线的母线于M、N两点,设点P的横坐标为m,求时m的值.
(3)已知函数和.当它们的积函数自变量的取值范围是,且当时,这个积函数的最大值是8,求n的值以及这个积函数的最小值.
【答案】(1)交于(3,0)(-1,0)
(2)m=1,
(3)n=3,y=-7
【解析】
(1)利用积函数的定义直接得出结论,最后令y=0,解方程即可求出与x轴的交点坐标;
(2)设出点P的坐标,进而表示出点M,N的坐标,即可求出PM,PN,最后用PM=PN建立方程求解即可得出结论;
(3)先确定出积函数,利用此函数的增减性,判断出x=2时,y最大求出n,最后将x=-1代入抛物线解析式即可确定出最小值.
解:(1)∵函数y=x-3和y=-x-1,
∴函数y=x-3和y=-x-1的积函数为y=(x-3)(-x-1)=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,
令y=0,
∴-(x+1)(x-3)=0,
∴x=-1或x=3,
∴积函数的图象与x轴交点的坐标为(-1,0)和(3,0);
(2)由(1)知,抛物线解析式为y=-x2+2x+3,设P(m,-m2+2m+3),
∵函数y=x-3和y=-x-1,
∴M(m,m-3),N(m,-m-1),
∴PM=|-m2+2m+3-(m-3)|=|m2-m-6|,
PN=|-m2+2m+3-(-m-1)|=|m2-3m-4|,
∵PM=PN,
∴|m2-m-6|=|m2-3m-4|,
∴m=1或m=1±;
(3)①∵函数y=x-2n和y=-x,
∴函数y=x-2n和y=-x积函数为y=(x-2n)(-x)=-x2+2nx=-(x-n)2+n2,
∵积函数自变量的取值范围是-1≤x≤2,且当n≥2时,这个积函数的最大值是8,
∴当x=2时,yman=-4+4n=8,
∴n=3,
∴积函数的解析式为y=-x2+6x,
当x=-1时,ymin=-1-6=-7.
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【题目】在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球,它们的材质、形状、大小完全相同,小明从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小红从剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为 y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)请你运用画树状图或列表的方法,写出点P所有可能的坐标;
(2)以坐标原点为圆心,4为半径作圆,求出点(x,y)在圆内的概率.
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【题目】计算:(1)sin2 1°+sin2 2°+sin2 3°+…+sin2 87°+sin2 88°+sin2 89°
(2)sin2 66°-tan54°tan36°+sin2 24°+sin230°+cos230°+
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c –m=0有两个实数根,下列结论:①b2-4ac>0;②abc>0;③;④,其中正确的个数有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A在y轴正半轴上,顶点C在x轴正半轴上,抛物线(a<0)的顶点为D,且经过点A、B.若△ABD为等腰直角三角形,则a的值为___________.
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【题目】我市某社会团体组织人员参观皇窑瓷展,主办方对团体购票实行优惠:在原定票价的基础上,每张降价40元,则按原定票价需花费6000元购买门票,现在只花了4000元.
求每张门票原定的票价;
在展览期间,平均每天可售出个人票2000张,现主办方决定对个人购票也采取优惠措施,发现原定票价每降低2元,平均每天可多售出个人票40张,若要使平均每天的个人票收入达到241500元,且能有效控制游览人数,则票价应降低多少元?
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【题目】如图,某水库上游有一单孔抛物线型拱桥,它的跨度AB为100米.最低水位(与AB在同一平面)时桥面CD距离水面25米,桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD,中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面,拱顶正上方的钢柱EF长5米.
(1)建立适当的直角坐标系,求抛物线型桥拱的解析式;
(2)在最低水位时,能并排通过两艘宽28米,高16米的游轮吗?(假设两游轮之间的安全间距为4米)
(3)由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨,水位最高时比最低水位高出13米,请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米?
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【题目】下列说法正确的是( ).
A. 一个游戏的中奖概率是,则做10次这样的游戏一定会中奖
B. 一组数据6,8,7,8,8,9,10的众数和中位数都是8
C. 为了解全国中学生的心理健康情况,应该采用普查的方式
D. 若甲组数据的方差S2甲=0.01,乙组数据的方差S2乙=0.1,则乙组数据比甲组数据稳定
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