Question

如图，菱形ABCD中，AB=5，AC=8，动点P以每秒1个单位的速度沿边DA从点D运动到点A，动点Q同时以每秒1个单位的速度沿边AB从点A运动到点B．连接BP交AC于点E，连接QE．设动点P、Q的运动时间为t秒．
（1）求BD的长．
（2）当t为何值时，QE∥AD？
（3）①在P、Q的运动过程中，请求出四边形AQEP的面积S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围；②当△AQE的外接圆经过点P时，写出此时S的值．（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质，由勾股定理先求出BO，再就可以求出BD的值了．
（2）由菱形的性质及QE∥AD可以得出∠1=∠3，得出QE=AQ，再根据相似三角形的性质就可以求出其结论．
（3）①利用△APE∽△CBE将AE表示出来，过点E作EF⊥AB于F，再根据△AEF∽△ABO表示出EF，最后利用三角形的面积公式就可以表示出结论；②由条件可以知道AEPQ四点共圆，得出∠AQE=∠APE=90°，由勾股定理可以求出其值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=

1

2

AC=4，BD=2BO，∠AOB=90°，∠1=∠2，
∴OA²+OB²=AB²，
∵AB=5，
∴16+OB²=25，解得，
OB=3，
∴BD=6
（2）∵QE∥AD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AQ=QE．
∵PD=t，AQ=t，
∴AP=5-t，QB=5-t，QE=t，
∵QE∥AD，
∴△BQE∽△BAP，
∴

QB

AB

=

QE

AP

，
∴

5-t

5

=

t

5-t

，解得，
t₁=

15 +5 5

2

（舍去），t₂=

15 -5 5

2

，
∴t=

15 -5 5

2

时，QE∥AD．
（3）①∵四边形ABCD是菱形，
∴∠2=∠ACB，∠PEA=∠CEB，
∴△APE∽△CBE，∴

AP

BC

=

AE

EC

，
∴

5-t

5

=

AE

8-AE

，
∴AE=

40-8t

10-t

．
过点E作EF⊥AB于F，
∴△AEF∽△ABO，
∴

AE

AB

=

EF

OB

，
∴

40-8t 10-t

5

=

EF

3

，
EF=

24-4.8t

10-t

S_{四边形AQEP}=S_△ABE=

1

2

•EF•AB=

1

2

×5×

24-4.8t

10-t

=

60-12t

10-t

   
∴S=

60-12t

10-t

（0＜t≤5）
②S=

75

16

．

点评：本题考查了菱形的性质，平行线的判定，相似三角形的判定及性质，三角形的面积及三角形的外接圆与外心．