Question

某汽车制造厂投资200万元，成功地研制出一种市场需求量较大的汽配零件，并投入资金700万元进行批量生产．已知每个零件成本为20元．通过市场销售调查发现：当销售单价定为50元时，年销售量为20万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少1 000件．设销售单价为x（x＜140）元，年销售量为y （万件），年获利为z （万元）．
（1）试写出y与x之间的函数关系式；
（2）当年获利为120万元时，销售单价为多少元？
（3）当销售单价定为多少时，年获利最多？并求出年利润．

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）由于当销售单价定为50元时，年销售量为20万件，而销售单价每增加1元，年销售量就减少1000件，由此确定y与x的函数关系式；
（2）设当年获利120万元时，销售单价为x元，根据售价-成本-投资=利润120万元，列出方程，解方程即可；
（3）先根据利润=售价-成本-投资，得出z与x的函数解析式，再运用二次函数的性质即可求出最大值．

解答：解：（1）依题意知，当销售单价为x元时，年销售量将减少

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（x-50）万件（1000件=

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万件），
因此y=20-

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（x-50）=-

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x+25，
即y=-

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x+25（50≤x＜140）；

（2）设当年获利120万元时，销售单价为x元．
由题意，得（x-20）y-200-700=120，
即（x-20）（-

1

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x+25）-200-700=120，
整理，得x²-270x+15200=0，
解得x₁=80，x₂=190（不合题意，舍去）．
当年获利为120万元时，销售单价为80元；

（3）由题意，当销售单价定为x元时，年获利z=（x-20）y-200-700
=（x-20）（-

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x+25）-200-700
=-

1

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x²+27x-1400
=-

1

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（x-135）²+422.5，
所以当x=135时，z取得最大值422.5．
故当销售单价定为135元时，年获利最多，此时年利润为422.5万元．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用已知条件列出方程或二次函数，然后解方程或利用二次函数的性质即可解决问题．