Question

2．如图，在矩形ABCD中，AD=6cm，AB=8cm，点E是AD的中点．连接BD，BE．
（1）如图1，点P在DC上，若DP=3cm，连接AP与BD、BE分别交于点M、N
①求MP：MA；
②求MN的长度；
（2）如图2，动点P从点D出发，在射线DC上运动，运动速度均为1cm/s，连接AP与BD、BE分别交于点M、N，设点P的运动时间为x秒，当x为多少时，△DMN是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）①由四边形是矩形，得到AB∥DC，从而得到比例式即可；②由相似三角形的性质得到比例式，再用勾股定理求出AP即可；
（2）由△ABM∽△ABD和△ABM∽△DPM，得出的比例式，用比例的基本性质即可．

解答 解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥DC，
∵DP=3，AB=8，
∴$\frac{PM}{MA}=\frac{PD}{AB}$=$\frac{3}{8}$．
②如图，

由①有，$\frac{PM}{MA}=\frac{PD}{AB}$=$\frac{3}{8}$．
∴AM=$\frac{8}{11}$AP，BM=$\frac{8}{11}$BD，
过点M作MH∥AD，
∴$\frac{MH}{DE}=\frac{MH}{AE}=\frac{BM}{BD}$=$\frac{8}{11}$，
∵△AEN∽△MHN，
∴$\frac{MN}{AN}=\frac{8}{11}$，
∴MN=$\frac{8}{19}$AM，AM=$\frac{8}{11}$AP，
在Rt△ADP中，DP=3，AD=6，
∴AP=$\sqrt{A{D}^{2}+D{P}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴MN=$\frac{8}{19}$×$\frac{8}{11}$×3$\sqrt{5}$=$\frac{192\sqrt{5}}{209}$，
（2）∵AD=6，AB=8，
∴BD=10，
∵DP=x，
当△DMN为直角三角形，
Ⅰ、DB⊥AP，
∵△ABM∽△ABD，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BM}{AB}$，
∴$\frac{8}{10}=\frac{BM}{8}$，
∴BM=$\frac{32}{5}$，
∴DM=BD-BM=10-$\frac{32}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∵△ABM∽△DPM，
∴$\frac{AB}{DP}=\frac{BM}{DM}$，
∴$\frac{8}{x}=\frac{\frac{32}{5}}{\frac{18}{5}}$，
∴x=$\frac{9}{2}$
Ⅱ、如图2，

过N作AB的垂线，交AB于Q点，∠DNM为直角时，
∴EN=$\frac{1}{2}$AD=3，EB=$\sqrt{73}$，
∴NQ=3-$\frac{9}{EB}$，AQ=$\frac{24}{EB}$，
根据勾股定理得AN=$\sqrt{A{Q}^{2}+N{Q}^{2}}$≈3.42，
∵$\frac{AN}{AD}=\frac{AD}{AP}$，
∴AP=$\frac{A{D}^{2}}{AN}$=$\frac{36}{3.42}$≈10.53．

∴t=10.53．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，比例的基本性质，解本题的关键是熟练掌握比例的基本性质的前提下，灵活运用．