Question

如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（　　）

A．等腰三角形

B．任意三角形

C．直角三角形

D．直角三角形或等腰三角形

Answer 1

分析：根据相似三角形对应角相等，分①高线分成的两个角相等，②高线分成的两个角不相等分析解答．

解答：解：如图，△ABC的高线分成的两个三角形为△ABD与△ACD，
①当高线分成的两个角相等时，
∵△ABD∽△ACD，
∴∠1=∠2，
在△ABD与△ACD中，

∠1=∠2 AD=AD ∠ADB=∠ADC=90°

，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②高线分成的两个角不相等时，
∵△ABD∽△ACD，
∴∠1=∠C，∠2=∠B，
又∵∠1+∠B+∠C+∠2=180°，
∴∠1+∠2=

1

2

×180°=90°，
即∠BAC=90°，
所以△ABC是直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形．
故选D．

点评：本题考查了相似三角形对应角相等的性质，注意高线分成的两个角分相等与不相等两种情况讨论求解．