Question

（2012•莱芜）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=2AD，F、E分别是BA、BC的中点，则下列结论不正确的是（　　）

• A．△ABC是等腰三角形
• B．四边形EFAM是菱形
• C．S_△BEF=

  1

  2

  S_△ACD
• D．DE平分∠CDF

Answer 1

分析：连接AE，由E为BC的中点，得到BE=CE，再由BC=2AD，可得出AD=BE=CE，再由AD与BC平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出四边形ABED与四边形AECD都为平行四边形，再由∠BCD=90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形得出四边形AECD为矩形，利用矩形的四个角为直角可得出AE垂直于BC，得到AE垂直平分BC，利用线段垂直平分线定理得到AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故选项A正确，不合题意；
由EF为△ABC的中位线，利用中位线定理得到EF平行于AC，且等于AC的一半，进而得到四边形AFEM为平行四边形，再由AF等于AB的一半，即为AC的一半，得到邻边AF=EF，可得出四边形AFEM为菱形，选项B正确，不合题意；
过F作FN垂直于BC，可得出FN与AE平行，由F为AB的中点，得到N为BE的中点，即FN为△ABE的中位线，得到FN等于AE的一半，即为DC的一半，再由BE=AD，可得出△BEF与△ADC底相等，高FN为CD的一半，可得出△BEF的面积为△ADC面积的一半，选项C正确，不合题意；
而DE不一定为角平分线，选项D错误，符合题意．

解答：解：连接AE，如右图所示，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=

1

2

BC，又BC=2AD，
∴AD=BE=EC，又AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，四边形AECD为平行四边形，
又∵∠DCB=90°，
∴四边形AECD为矩形，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形，
故选项A不合题意；
∵E为BC的中点，F为AB的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，
又∵四边形ABED为平行四边形，
∴AF∥ME，
∴四边形AFEM为平行四边形，
又∵AF=

1

2

AB=

1

2

AC=EF，
∴四边形AFEM为菱形，
故选项B不合题意；
过F作FN⊥BC于N点，可得FN∥AE，
又∵F为AB的中点，
∴N为BE的中点，
∴FN为△ABE的中位线，
∴FN=

1

2

AE，
又∵AE=DC，BE=AD，
∴S_△BEF=

1

2

S_△ACD，
故选项C不合题意；
DE不一定平分∠CDF，
故选项D符合题意．
故选D．

点评：此题考查了直角梯形的性质，涉及的知识有：矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．