解:(1)当x=0时,y=4,即B(0,4),
当y=0时,x=4,即A(4,0),
∵抛物线上有不同的两点E(k+3,-k
2+1)和F(-k-1,-k
2+1)的纵坐标相等,
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称,
∴对称轴x=-
=
=1,
把点A,点B代入抛物线解析式中求得a=
,b=1,c=4,
∴抛物线解析式为y=-
x
2+x+4;
(2)当点P(x,x)在直线AB上时,x=-x+4,
解得x=2,
当点Q(
,
)在直线AB上时,
=-
+4,
解得x=4.
所以,若正方形PEQF与直线AB有公共点,则2≤x≤4.
(3)当点E(x,
)在直线AB上时,(此时点F也在直线AB上)
=-x+4,
解得x=
.
①当2≤x<
时,直线AB分别与PE、PF有交点,设交点分别为C、D,
此时,PC=x-(-x+4)=2x-4,
又PD=PC,
所以S
△PCD=
PC
2=2(x-2)
2,
从而:S=
x
2-2(x-2)
2=-
x
2+8x-8=-
(x-
)
2+
.
∵2≤
<
,
∴当x=
时,S
max=
.
②当
≤x≤4时,直线AB分别与QE、QF有交点,设交点分别为M、N,
此时,QN=(-
+4)-
=-x+4,
又QM=QN,
∴S
△QMN=
QN
2=
(x-4)
2,
即S=
(x-4)
2.
其中当x=
时,S
max=
.
综合①②得,当x=
时,S
max=
.
分析:(1)由直线y=-x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,即可求得A,B的坐标,又由抛物线上有不同的两点E(k+3,-k
2+1)和F(-k-1,-k
2+1)的纵坐标相等,即可求得此抛物线的对称轴,利用待定系数法即可求得解析式;
(2)分别从当点P(x,x)在直线AB上时与当点Q(
,
)在直线AB上时分析,即可求得x的取值范围;
(3)首先求得当点E(x,
)在直线AB上时x的值,再分别从当2≤x<
时与当
≤x≤4时去分析,注意三角形的面积求解方法与二次函数最大值的求解方法的应用.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,函数自变量的取值范围的确定、二次函数最大值的确定以及三角形面积的求解等知识.此题综合性很强,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.