Question

如图，直线y=-x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）已知点C坐标为（4，0），设点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标；
（3）请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在平面直角坐标系中作出图形，并求出点N的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）令x=0，则y=5；令y=0，则x=5，即可求得；
（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；
（3）作出点C关于直线y轴的对称点C′，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DC′的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=-x+5分别与x轴、y轴交于A、B两点
令x=0，则y=5；令y=0，则x=5
∴点A坐标为（5，0）、点B 坐标为（0，5）；

（2）点C 关于直线AB的对称点D的坐标为（5，1），

（3）作点C关于y轴的对称点C′，则C′的坐标为（-4，0）
联结C′D交AB于点M，交y轴于点N，
∵点C、C′关于y轴对称
∴NC=NC′，
又∵点C、D关于直线AB对称，
∴CM=DM，
此时，△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NC′=DC′周长最短；
设直线C′D的解析式为y=kx+b
∵点C′的坐标为（-4，0），点D的坐标为（5，1）
∴

1=5k+b 0=-4k+b

，解得

k= 1 9 b= 4 9

∴直线C′D的解析式为y=

1

9

x+

4

9

，
与y轴的交点N的坐标为  （0，

4

9

）．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是由轴对称的知识，结合图形，得出关于直线y=-x+5轴对称的两点坐标关系，轴对称的性质及轴对称-最短路线问题，综合性较强，有一定难度．