Question

【题目】如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，给出下列结论：①∠AME=108°；②；③MN=；④．其中正确结论的序号是________．

Answer 1

【答案】①、②、③

【解析】分析：根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；由于∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根据相似三角形的性质得到和AM，AN，AD有关的比例式，等量代换得到AN2=AMAD；根据AE2=AMAD，列方程得到MN=3-；在正五边形ABCDE中，由于BE=CE=AD=1+，得到BH=BC=1，根据勾股定理得到EH的值，根据三角形的面积得到结论．

详解：∵∠BAE=∠AED=108°，

∵AB=AE=DE，

∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，

∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正确；

∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，

∴∠AEN=∠ANE，

∴AE=AN，

同理DE=DM，

∴AE=DM，

∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，

∴△AEM∽△ADE

∴，

∴AE2=AMAD；

∴AN2=AMAD；故②正确；

∵AE2=AMAD，

∴22=（2-MN）（4-MN），

解得：MN=3-；故③正确；

在正五边形ABCDE中，过Ｅ作ＥH⊥BC于H

∵BE=CE=AD=1+，

∴BH=BC=1，

∴EH=，

∴S△EBC=BCEH=×2×=，故④错误；

故答案为：①②③．