Question

3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（0，3），B（-3，0），C（3，0），D在BC上，连接AD
（1）如图1，当S_△ABD：S_△ACD=1：2，求D点的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，动点P从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒，当直线CP⊥AD，垂足为G时，求此时t值；
（3）如图3，在（1）的条件下，过点A作EA⊥AD，且∠ACE=∠ABD，若AF⊥BE于点H，AF交BC于点F，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）先设出点D坐标，表示出CD，BD，利用三角形的面积比列式求出点D坐标；
（2）利用三角形的面积求出CG，设出点G的坐标，用线段CG的长建立方程求出点G坐标，即可得出直线CP解析式，即可得出点P坐标，即可；
（3）先判断出△ABD≌△ACE，求出CE，再判断出CE⊥BC，得出点E坐标，即可求出直线BE解析式，进而得出直线AF解析式即可得出结论．

解答 解：（1）设D（m，0），
∵A（0，3），B（-3，0），C（3，0），
∴BD=m-3，CD=3-m，OA=3
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD×OA=$\frac{1}{2}$×（m-3）×3
S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×OA=$\frac{1}{2}$×（3-m）×3
∵S_△ABD：S_△ACD=1：2，
∴2×$\frac{1}{2}$×（m-3）×3=$\frac{1}{2}$×（3-m）×3，
∴m=-1，
∴D（-1，0）
（2）∵A（0，3），D（-1，0），
∴AD=$\sqrt{10}$，直线AD解析式为y=3x+3，
∵CP⊥AD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×CD×OA=$\frac{1}{2}$×AD×CG，
由（1）知，CD=4，OA=3，
∴4×3=$\sqrt{10}$CG，
∴CG=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
设G（g，3g+3），
∵C（3，0），
∴（3-g）²+（3g+3）²=（$\frac{6\sqrt{10}}{5}$）²，
∴g=-$\frac{3}{5}$，
∴G（-$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∵C（3，0），
∴直线CP解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
∴P（0，1），
∴t=（3-1）÷1=2．
（3）∵A（0，3），B（-3，0），C（3，0），
∴OA=OB=OC，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAD+∠CAD=90°
∵EA⊥AD，
∴∠CAE+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2，
∵∠ABC=∠ACB=45°，∠ACE=∠ABD，
∴∠OCE=90°，
∴E（3，2），
∵B（-3，0），
∴直线BE解析式为y=$\frac{1}{3}$x+1，
∵AF⊥BE于点H，AF交BC于点F，且A（0，3），
∴直线AF的解析式为y=-3x+3，
∴F（1，0），
∴CF=2．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，待定系数法求直线解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是利用三角形的面积求出CG，判断出CE⊥BC是解本题的难点．